面试数学题若干

回顾下面试中碰到的数学题

1、100!后缀上有多少个零?
热身题。看一百个数中的因子中2和5的数量,一个2和一个5构成一个结尾上的零。2比5多,所以看一百个书中有多少5的因子就是答案了。含因子5的有\(\frac{100}{5}\)个,另外有些数因子5的幂次(\(\frac{100}{25}\))。答案是20 + 4=24 。

2、假设生男生女概率相同,都是\(\frac{1}{2}\),一直两个小孩中有一个男孩,求另一个也是男孩的概率。
这题可以用贝叶斯做。更直观的思路是:男男、男女、女男概率相同,所以答案是\(\frac{1}{3}\)。

3、掷硬币,正反面出现的概率都是\(\frac{1}{2}\)。如果连续出现两次正面就终止。问终止时掷硬币次数的期望。
算期望的常规思路是假设次数,找次数的概率,概率对次数求和或者积分。但是这题很难算。思路是假设平均x次,找x自身的等式关系。
1) 第一次掷出反面,此时剩余次数期望为x
2)第一次掷出正面,有\(\frac{1}{2}\)概率还需1+x次,有\(\frac{1}{2}\)概率还需1次
因此\(x=\frac{1}{2}(1+x) + \frac{1}{4} 2 + \frac{1}{2} (1+x)\)
解出x=6次。

4、[0,1]上什么分布有最大方差?证明结论。
直观猜出结论是一个两点分布:\(\frac{1}{2}\)在0和1各自取值。
证明:
\(var(x) = E(x^2) – E(x)^2\),
因为\(x\in[0,1]\),所以\(x^x \leq x\),
所以\(var(x) = E(x^2) – E(x)^2 \leq E(x) – E(x)^2\)
后者极大值已经在上述结论中取到。

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *